Нужен с батареей, так как антена на улице будет стоять
Не совсем понимаю, какая "связь" может быть между мобильным роутером с батареей и внешней антенной?! Если планируется использование внешней антенны, то простите за мой французский - нахрена тогда мобильный роутер использовать в "стационарном варианте"? Другое дело, когда планируется периодическое использование "в дороге" и "в дому" - то тогда понятно и в таком случае желательно использовать съемный переходник (пигтейл) для подключения внешней антенны, чем несъемный "хвост".

(сигнал обычных оператов очень слаб в доме, думаю у CDMA тоже беда).
Что такое "обычные" операторы? Например: "ОП 80-й километр" - лайфцелл работает только в районе кладбища, мтс/водафон - только в определенных местах в огороде, киевстар - практически везде, во дворе и в дому, интертелеком - везде, кроме погреба, на пиплнет с тримобом - даже никакого "намёка" нет. Отака фигня.

Что такое делать хвост?
Вот это (фото под спойлером) с F коннекторами, чтобы можно было без проблем и лишнего "головняка" подключать кабель спуска от внешней антенны.
